O odsetkach (cz. 2) – anatocyzm w historii matematyki

value of expression tend to e

Zagadnienie historii odsetek jest bardzo ciekawe i w tym kontekście warto polecić świeże opracowania naukowe Krzysztofa Bokwy, dostępne na zasadzie open access przez strony Uniwersytetu Jagiellońskiego.(1)

Anatocyzm to inaczej odsetki od odsetek (w jez. angielskim znane również jako compound interest). W praktyce polega to na tym, że doliczamy narosłe odsetki do kwoty głównej, od której znowu liczymy odsetki według określonego oprocentowania. Podając oprocentowanie określamy ratę odsetek oraz okres, za jaki mogą być naliczane.

Dopuszczając anatocyzm i abstrahując od okresu, za jaki można naliczyć odsetki według tej raty lub stosownego jej ułamka, możemy wyobrazić sobie sytuację, kiedy pomimo stałej raty oprocentowania liczonej w odniesieniu np. do jednego roku, końcowa kwota oprocentowania będzie tym wyższa, im częściej wykonamy naliczanie oprocentowania w stosunku do okresu, za jaki go liczymy (jednokrotnie w roku na pełną ratę, dwukrotnie w roku na połowę raty, czterokrotnie w roku na 1/4 raty itd.).

W polskim prawie wprowadzono zakaz anatocyzmu w art. 482 k.c. i ustawodawca posługuje się tam wyrażeniem „odsetki od zaległych odsetek”.

Art. 482 § 1. Od zaległych odsetek można żądać odsetek za opóźnienie dopiero od chwili wytoczenia o nie powództwa, chyba że po powstaniu zaległości strony zgodziły się na doliczenie zaległych odsetek do dłużnej sumy.

Kodeks cywilny, art. 482 § 1

Do 15 lutego 2019 r. w Polsce istniał przywilej wyjątku od zakazu anatocyzmu dla instytucji kredytowych przy pożyczkach długoterminowych (paragraf 2 powyższego przepisu). Obecnie wyjątek ten już nie obowiązuje.

Projektodawca tej zmiany argumentował pozbawienie instytucji kredytowych tego przywileju tymi słowami:

Wyjątek przewidziany dla instytucji kredytowych został wprowadzony w okresie funkcjonowania w Polsce gospodarki socjalistycznej. W momencie tworzenia tego przepisu pojęcie „instytucja kredytowa” odnosiło się do takich podmiotów, jak: bank centralny, banki specjalne, branżowe, spółdzielnie kredytowe oraz kasy oszczędnościowe (…). Jak wskazuje się w literaturze, podmioty te miały ścisły podział kompetencji w zakresie wykonywanych przez siebie zadań, a zadanie polegające na udzielaniu pożyczek długoterminowych było przydzielone do banków specjalnych. Żadna inna instytucja nie mogła udzielać tego rodzaju pożyczek. Treść art. 482 § 2 Kodeksu cywilnego nie była zmieniana od dnia wejścia w życie Kodeksu cywilnego, tj. od dnia 1 stycznia 1965 r. W związku ze zmianami ustrojowogospodarczymi, jakie zaszły w Polsce od tego czasu, literalne brzmienie tego przepisu przestało być adekwatne do otoczenia prawno-gospodarczego.

uzasadnienie projektu ustawy o zmianie ustawy – Kodeks cywilny z dnia 6 grudnia 2018 r. (Dz.U. z 2019 r. poz. 80) – druk 2876

W uzasadnieniu projektu ustawy zauważono także, że przewidziany w ustawie wyjątek dla pożyczek długoterminowych nie musiał odnosić się do kredytów. Poglądy doktryny prawa były w tym zakresie podzielone, z przewagą dla stosowania anatocyzmu przy kredytach. Wątpliwości budziło także zagadnienie tego, kiedy pożyczki były długoterminowe. Projektodawca słusznie zauważył, że uprzywilejowanie silniejszego podmiotu w stosunku pożyczki i kredytu – przeważnie banku – nie jest uzasadnione. Stwierdzono też brak podstaw dla takiego przywileju w prawie unijnym czy w Konstytucji RP. Istotne były też względy ochrony konsumenta, jakich takie uprzywilejowanie nie bierze pod uwagę.

Powyżej cytowane uzasadnienie projektu zmiany ustawy jest jednym z najlepszych, jakie czytałam.

Zakaz anatocyzmu w polskim ujęciu wydaje się obecnie nieskomplikowaną regulacją. Zakaz naliczania odsetek od odsetek znało już prawo rzymskie (z łaciny pochodzi też słowo – anatocyzm):

Ustawodawstwo justyniańskie zabraniało także anatocyzmu – zarówno poprzez włączanie odsetek do kapitału (anatocismus conjunctus), jak i poprzez traktowanie wcześniejszych odsetek jako odrębnej, oprocentowanej sumy (anatocismus separatus). Niedopuszczalne było również, by odsetki przerosły wysokość należności głównej (ne ultra alterum tantum).

K. Bokwa, Podstawy regulacji odsetek i lichwy w prawie Europy Środkowej do XIX w., Internetowy Przegląd Prawniczy TBSP UJ 2017/8, ISSN 1689‒9601 , s. 151.

Wracając do historii matematyki, kilkaset lat temu zakaz anatocyzmu nie był tak oczywisty. W wieku XVII, w roku 1683, Jacob Bernoulli pochylił się nad kwestią tego, jak kształtowałoby się oprocentowanie, gdyby do kwoty głównej naliczano odsetki nie rocznie, nie półrocznie, nie kwartalnie, ale bezustannie (wspomniane powyżej pominięcie wymagania określenia okresu, za jaki oprocentowanie jest naliczane). Było to zagadnienie matematyczne związane z dynamiką zmiany i wzrostu, w owym czasie poddawanej analizie przez wielu matematyków.

W ten sposób powstała jedna z najbardziej znanych liczb w matematyce, równie sławna, jak liczba pi. Liczba pi znana była już starożytnym Grekom, jednak liczba odkryta przy analizie odsetek od odsetek – znana jako liczba Eulera – została poddana analizie dopiero w XVII wieku przez Jacoba Bernoulli’ego. Liczba nazywa się liczbą Eulera, dlatego, że dopiero Leonhard Euler, też matematyk szwajcarski, pół wieku później ustalił tę wartość dokładniej (do 18 miejsca po przecinku) i wykazał, że liczba ta jest niewymierna. Liczba Eulera zwykle określana jest jako podstawa logarytmu naturalnego.

Oznacza to, że aby pobierać odsetki od odsetek naliczane nieustannie (nieskończenie często), trzeba być biegłym w stałych matematycznych stanowiących fundament dzisiejszej matematyki.

Światowy dzień liczby Eulera (nie dzień anatocyzmu) przypada na 7 lutego.

(1) K. Bokwa, Podstawy regulacji odsetek i lichwy w prawie Europy Środkowej do XIX w., Internetowy Przegląd Prawniczy TBSP UJ 2017/8, ISSN 1689‒9601; K. Bokwa (pod opieką naukową Andrzeja Dziadzio), Historia aktualna — austriacka regulacja odsetek i lichwy w XIX–XX w., Studenckie Prace Prawnicze, Administratywistyczne i Ekonomiczne 21, 2017

(2) grafika ze strony intmath.com